Nhà toán học Michael Atiyah - Giáo sư Đại học Cambridge - tuyên bố đă giải được Giả thuyết Riemann

Nhà toán học 90 tuổi đến từ Đại học Cambridge - Giáo sư Michael Atiyah – tuyên bố đă giải được Giả thuyết Riemann, một trong những bài toán khó nhất của nhân loại đă tồn tại hơn 160 năm qua.

Giả thuyết Riemann là một bài toán khó và đă hơn 160 năm không ai giải được, tuy nhiên ông Atiyah tuyên bố đă giải được bài toán này tại Diễn đàn Heidelberg Laureate Forum 2018 và thậm chí lời giải cho bài toán này rất "đơn giản". Ông sẵn sàng tiếp nhận các phản biện cho bài giải của ông.
Giả thuyết Riemann được nêu ra bởi nhà toán học người Đức Bernhard Riemann vào năm 1859, đề cập đến cách tính chuỗi các số nguyên tố - các con số chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó.
Trong khi không có phương pháp chính xác để dự đoán khi nào sẽ có số nguyên tố tiếp theo, Berhard Reimann nhận ra rằng sự phân bố của những con số này rất giống với một hàm, gọi là hàm Riemann Zeta:
Theo giả thuyết này, hàm ζ (s) = 1 / 1s + 1 / 2s + 1 / 3s + 1 / 4s +…. đến vô cùng, là hàm số cho chúng ta dự đoán đúng tập số nguyên tố.
Nêu ra giả thuyết như vậy nhưng Riemann không thể chứng minh Giả thuyết của ḿnh là đúng.


Nhà toán học Đức Bernhard Riemann (1826-1866)

Nếu chứng minh của Atiyah là chính xác, nó sẽ là một chấn động lớn đối với cộng đồng toán học bởi suốt 160 năm qua, bằng chứng cho giả thuyết Riemann đă trở thành một trong những vấn đề khó hiểu nhất trong toán học. Từ năm 2000, Viện Toán học Clay đă đề nghị một giải thưởng trị giá 1 triệu Mỹ kim cho nhà toán học có thể công bố kết quả của ḿnh về vấn đề này trong một tạp chí uy tín và sẽ phải đợi hai năm để các nhà toán học khác có thể kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Mặc dù Atiyah đă chứng minh bằng chứng của ḿnh vào thứ Hai, nhưng nó vẫn chưa được chấp nhận để xuất bản.
Nếu bằng chứng của Atiyah không được chấp nhận th́ đây cũng không phải là lần đầu tiên một nhà toán học tuyên bố đă bẻ khóa giả thuyết của Riemann và thất bại. Vào năm 2015, một giáo sư người Nigeria tên Opeyemi Enoch cũng tuyên bố đă cung cấp bằng chứng cho giả thuyết Riemann nhưng toàn bộ bằng chứng hóa ra lại là một sự giả mạo. Không giống như Enoch, Atiyah đă từng giành được cả Huy chương Fields và Giải Abel, giải thưởng có thể ví như Nobels dành cho các nhà toán học.
Theo Markus Pössel, một nhà thiên văn người Đức có mặt tại bài giảng của Atiyah, c̣n quá sớm để đưa ra phán quyết về việc liệu bằng chứng của Atiyah có đúng hay không.
Pössel cho biết: "Những người là chuyên gia trong lĩnh vực này vẫn chưa có đủ thông tin để đánh giá tuyên bố đó đúng. Cụ thể, Atiyah đă sử dụng một hàm số hiếm mà ông gọi là “hàm số Todd” . Tôi không rơ liệu hàm số đó có tồn tại trong chứng minh của Atiyah hay không. Nhưng chắc chắn là hợp lư để thận trọng trong phán xét”.

Năm 1859, nhà toán học Bernhard Riemann đă đưa ra một giả thuyết về thời điểm khi một hàm cụ thể trả về một giá trị bằng không. Giả thuyết có một số ứng dụng thực tế trong toán học, ví dụ như là một lời giải thích cho sự phân bố kỳ lạ của các số nguyên tố chỉ chia hết cho chính nó và một.
Giả thuyết của Riemann là về các giá trị được sử dụng trong hàm zeta, tạo ra một chuỗi số hội tụ hoặc phân kỳ tùy thuộc vào giá trị của s — được gọi là đối số của hàm — trong chuỗi sau:
Cái nh́n sâu sắc của Riemann là hàm zeta cũng có thể được mở rộng đến những con số phức tạp, đó là sự kết hợp giữa các con số ảo và thực. (Giải thích nhanh: Số phức tạp là số có dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực, i là đơn vị ảo, với i bằng căn bậc 2 của -1. Ví dụ 3 + 5i là một số phức tạp.)

Theo giải thích của Edward Frenkel trong một video trên Numberphile, nếu bạn đưa một số thực vào hàm zeta, chẳng hạn như “2” bạn sẽ nhận được chuỗi “1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + …”. Càng nhiều số được cộng thêm vào tŕnh tự này càng làm chuỗi gần đúng với một tổng số nhất định được gọi là giới hạn. Nếu chuỗi tiếp cận giới hạn, th́ nó được coi là một chuỗi hội tụ.
Mặt khác, nếu một số như “-1” được sử dụng làm đối số cho hàm zeta, nó trả về một chuỗi “1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …”. Loại chuỗi này không có giới hạn v́ tổng các con số tiếp tục lớn hơn và được biết đến như một chuỗi phân kỳ.
Riemann lập luận rằng nếu một số phức được sử dụng làm đối số cho hàm zeta, điều này dẫn đến một chuỗi hội tụ. Khi các số xác định, ví dụ như số thực, được sử dụng làm đầu vào cho một hàm zeta mà đối số của nó là một số phức, nó trả về một giá trị bằng không.
Một số ví dụ đầu vào khá dễ dàng để khám phá. Ví dụ -2, -4 và -6 sẽ trả về không. Nhưng những ǵ Riemann đưa ra giả thuyết là nếu 1/2 được sử dụng làm số thực cho đối số phức tạp của hàm zeta, th́ bất kỳ số ảo nào mà nó ghép cùng cũng sẽ trả về không. Do đó 1/2 + 1i, 1/2 + 2i, 1/2 + 3i, v.v. tất cả sẽ trả về không.
“Giá trị nào làm hàm zeta bằng 0?” Frenkel nói trong video Numberphile: "Đó là câu hỏi trị giá một triệu đô la".

Bằng chứng mà Atiyah tuyên bố là trả lời cho câu hỏi này dựa vào một hàm số mà ông gọi là “hàm số Todd”, được đặt tên theo nhà toán học, giáo viên cũ của Atiyah là J.A. Todd. Như Pössel đă chỉ ra, tính mới lạ của hàm số này là nguồn gốc của sự hoài nghi của nhiều nhà toán học về bằng chứng của Atiyah.
Nếu Atiyah hy vọng sẽ nhận được giải thưởng trị giá 1 triệu đô v́ giải quyết vấn đề thiên niên kỷ mà theo Viện Toán học Clay là một trong bảy đề toán khó nhất của nhân loại, th́ “hàm số Todd” cũng sẽ phải chịu sự kiểm tra tính đúng đắn của nó từ các nhà toán học khác trong khoảng hai năm.
Việc giải được bài toán này có thể gây ra những tác động lớn đối với đời sống của chúng ta. Nói một cách chi tiết, phần lớn giải pháp an ninh số ngày nay dựa vào sự phân bố ngẫu nhiên các số nguyên tố - có nghĩa là một giải pháp cho Giả thuyết Riemann có thể làm tăng thách thức đối với an ninh mạng toàn cầu.
SohaNews, VnReview